Pitágoras, matemáticas y la caña tarijeña

Pitágoras es hasta hoy uno de los filósofos y matemáticos más conocidos de la Grecia antigua, en gran parte debido a su teorema que resulta fundamental en la geometría y por afirmar que todo en el universo era conmensurable, esto es, medible.

Quizá esta idea fue la que le llevó a estudiar y tratar de entender la música, o fueron quizá sus estudios sobre ésta que lo llevaron a la idea de la conmensurabilidad en primer lugar, desarrollando el concepto de lo que llamamos hoy en día los números racionales. Lo cierto es que en algún punto dio con un descubrimiento que hasta hoy es fundamental en la música y es que sus sonidos y los sonidos que producían los instrumentos tenían una relación matemática oculta a plena vista, que analizaremos a través de la Caña.

La Caña es un instrumento musical típico de Tarija con entre 2.5 y 5 metros de largo aproximadamente. Es un instrumento capaz de producir 3 sonidos y un cuarto que es el primero de los anteriores, pero en una octava superior (en música se denominan “octavas” a la distancia entre dos sonidos que llevan el mismo nombre pero que son más agudos o más graves).

Precisamente esto último fue uno de los descubrimientos de Pitágoras, con la ayuda de un instrumento con una sola cuerda llamado monocordio observó que cuando insertaba un punto de apoyo que dividía la cuerda por la mitad, esta cuerda sonaba una octava más aguda que cuando no se colocaba el punto de apoyo (la cuerda al aire en la jerga musical). Hoy en día esto es fácil de comprobar en una guitarra en donde la mitad de la cuerda (el traste 12) es la misma nota que da la cuerda al aire, pero en una octava superior.

Sin embargo, Pitágoras también probó otras divisiones de la cuerda en 3, 4, 5, y más partes iguales obteniendo varios sonidos de la escala musical. Si por ejemplo el sonido que da una cuerda al aire es un Do1 (los subíndices indican octavas diferentes), los sonidos que produciría ésta son Do2, Sol2, Do3, Mi3, Sol3 dividiendo la cuerda en 2, 3, 4, 5 y 6 partes iguales respectivamente. A éstos se los denomina armónicos de la nota fundamental.

Si tomamos un tubo y lo soplamos, esta relación se da de acuerdo a la longitud del mismo; en los hechos, en la mayoría de instrumentos de viento la forma habitual para producir sonidos de distinta altura variando el recorrido que hace el aire a través de mecanismos que son equivalentes a modificar la longitud de éste, o alternativamente aumentando la presión del aire. En el caso de la Caña al ser éste un instrumento de viento, y al estar sujeto a los mismos principios vibratorios, esta relación se da aumentando la presión del aire en el tubo.

Debido a la longitud y resistencia del material en la Caña y a la propia resistencia del aire, no es posible producir el sonido fundamental y el segundo sonido (similar a como sucede en una trompeta), por lo que sus sonidos corresponden al tercer, cuarto, quinto y sexto armónicos de la fundamental.

En la actualidad analizamos este fenómeno físicamente, y para ello usamos la frecuencia del sonido que se mide en Hertz. El cálculo de estos sonidos entonces se convierte en una muy simple operación aritmética: para ello multiplicamos la frecuencia F por el factor equivalente a la cantidad de veces que dividimos la cuerda, el tubo o el aumento de la presión sonora. En el caso de la Caña dada su frecuencia Fundamental aproximada de 64Hz, la primera nota al ser el tercer armónico es el resultado de multiplicar 64Hz x 3 = 192Hz, el cuarto armónico será 64Hz x 4 = 256Hz, el quinto 128Hz x 5 = 320Hz, etc.

De este modo culturas y civilizaciones tan diferentes comparten principios comunes en la producción de su música, principios que son matemáticamente simples y elegantes y cuyo descubrimiento el mundo occidental se lo debe a Pitágoras.